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Idea

3D Gaussian을 parametrize하는 방법

  • 3D Gaussian의 PDF

$$p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right) $$ → Gaussian이니까 경계가 명확하지는 않음

  • 같은 값을 가지는 점들의 집합: ellipsoid $$(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = c $$

  • $μ = (x,y,z)$

  • covariance matrix $Σ$

  • opacity $σ(α) \sim [0,1]$

    • $α$는 raw opacity score이고 이를 $σ\sim[0,1]$ function을 가지고 mapping시킨다.

  • convariance matrix는 anisotropic하다.

    • isotropic한 것은 identity matrix의 scalar multiplication 형태 $Σ=σ^2I$
      • covariance matrix가 isotropic하면 sphere 형태의 Gaussian이 얻어짐
    • 여기서는 anisotropic covariance matrix를 가정 -> 기울어진 ellipse 형태
    • covariance matrix를 eigendecomposition했을 때 eigenvector가 axis의 방향, eigenvalue가 각 axis로의 variance(크기) $$Σ=QΛQ^\top$$

  • covariance matrix는 positive semidefinite이어야 한다.

    • eigenvalue가 negative인 것은 physical하게 nonsense이므로 Σ는 항상 PSD
    • Σ의 PSD를 contrain하기 위해서 factorize해서 사용한다. $$Σ=RSS^\top R^\top$$
    • $S$는 diagonal scaling matrix
    • $R$은 3×3 rotation matrix